CycJIuk
Бизнесмены
- Регистрация
- 5 Янв 2015
- Сообщения
- 3,017
Понятие ICM в покере упоминается часто. Многие игроки пытались найти действительно хорошее описание этой модели, однако в интернете нет такой информации. Мы решили попытаться раскрыть данную тему. Давайте рассмотрим эту классическую проблему и посмотрим, можем ли мы в ней что-то прояснить.
Когда на покерных турнирах Ваш стек уменьшается, ценность каждой оставшейся фишки возрастает. Стек из 100 фишек стоит больше, чем десятая часть от стека в 1000 фишек. Так происходит из-за структуры распределения приза между победителями турнира.
Базовое допущение
Чтобы подсчитать реальную стоимость фишек каждого игрока, мы делаем одно важное базовое допущение.
Допущение: шансы данного игрока на победу в турнире равны его доле от общего количества фишек.
Если у Вас половина всех фишек, то Ваши шансы на победу составляют 50%. Если у Вас 10% от всех фишек, то шансы на победу составляют всего 10%. Если же у Вас все фишки (100%), то Вы по определению являетесь победителем.
Данное допущение основано на другом допущении – о том, что Вы играете на том же уровне, что и средний участник турнира. Это предположение можно оспорить, однако в данный момент мы можем произвести подсчеты только на основании этого утверждения.
Результат распределения приза
Из-за структуры распределения приза на покерных турнирах первое место не является единственной целью участников. Игрок, занявший второе место, также получает денежный приз, то есть у Вас есть определенный шанс занять второе место, что увеличивает Вашу предположительную долю банка. Это относится ко всем местам, за которые дается приз.
Чтобы рассчитать Вашу предположительную долю приза на турнире на основании количества Ваших фишек на данный момент, нам необходимо подсчитать вероятность того, что Вы займете каждое из призовых мест, умножить эту цифру на соответствующую сумму приза, а затем сложить все эти части Вашей предположительной доли банка.
В этом и состоит ICM. Все не так сложно. Однако если в турнире много участников и много призовых мест, подсчеты быстро становятся просто ужасными. При этом расчеты основываются на нескольких более или менее спорных допущениях.
Пример подсчета ICM для троих игроков
Чтобы показать, как делаются расчеты, рассмотрим простой пример. В турнире с двумя призовыми местами остались трое участников.
У Андрея половина всех фишек, и если бы в турнире был только один приз в 400 долларов, то на основании базового допущения, описанного выше, мы могли бы подсчитать, что его ожидаемый выигрыш составил бы 0.5 * 400 = 200 долларов. Однако в данном случае если он не займет первое место, у него есть шанс занять второе.
Магия ICM
И здесь начинается самое интересное, слушайте внимательно!
Если Андрей не выиграет турнир, то есть два варианта: первое место займет либо Боря, либо Витя. Как мы говорили выше, вероятность каждого из этих вариантов равна доле игрока от общего количества фишек. Все, что нам нужно сделать, это подсчитать шансы Андрея на второе место в каждом из этих двух вариантов.
Если на турнире победит Боря (вероятность этого составляет 40%), то Андрею, чтобы занять второе место, нужно опередить только Витю. На двоих у них 600 фишек, и 83% фишек от этого количества принадлежит Андрею. В соответствии с базовым допущением, о котором мы говорили в начале статьи, его шансы на выигрыш у Вити составляют 83% (если Боря станет победителем турнира).
Необходимо заметить, что с этими рассуждениями соглашаются не все. Было предложено несколько моделей оценки вероятности того, что тот или иной игрок займет второе место. Однако в онлайн-калькуляторах используются именно эти подсчеты, и далее мы объясним их подробно.
Аналогично мы подсчитываем, что если на турнире побеждает Витя (вероятность этого составляет 10%), то вероятность того, что Андрей выиграет у Бори, составит 500/900, или 56%.
Итак, общая вероятность того, что Андрей займет второе место, составляет:
P = 0.40 * 0.83 + 0.10 * 0.56 = 0.39
В итоге, предполагаемая доля приза Андрея на данный момент составляет 239 долларов. Эта сумма высчитывается так:
E = 0.50 * 400 + 0.39 * 100 = 239
Предполагаемая доля приза игроков с небольшими стеками больше, чем они заслуживают
Теперь обратим внимание на интересный эффект структуры распределения приза: несмотря на то, что у Андрея половина всех фишек, его предполагаемая доля приза составляет меньше половины от общего призового фонда. Вероятность того, что он займет второе место, составляет не 50%, и из-за этого его предполагаемая доля приза несколько уменьшается.
Если мы произведем те же подсчеты для Вити, то окажется, что его предполагаемая доля турнирного приза составляет 57 долларов.
Вероятность того, что Витя займет второе место, составляет:
P = 0.50 * 0.20 + 0.40 * 0.17 = 0.17
Его общая предполагаемая доля приза равна:
E = 0.10 * 400 + 0.17 * 100 = 57
И это больше 10% от призового фонда. 10% фишек Вити стоят больше, чем 10% от общей суммы приза. Часть предполагаемой доли приза, которую теряет Андрей, должна куда уходить – и она переходит к Боре и Вите.
Если мы поделим предполагаемые доли приза для игроков на количество их фишек, то получим ценность одной фишки у каждого из них.
Игроки с небольшими стеками платят больше, чем игроки с крупными стеками
Как мы говорили во вступительной части данной статьи – чем меньше Ваш стек, тем дороже каждая из Ваших фишек.
Основываясь на этом факте, умные люди сделали немало выводов о верной стратегии игры на турнире. Например, чтобы принять оптимальное решение, Вы можете оценить ситуацию на турнире и использовать матожидание в сочетании с ICM, а не только обычные подсчеты математического ожидания для пота. Об этом мы подробно расскажем в одной из следующих статей.
А сейчас просто обратим внимание, что ICM объясняет значительную часть логики, стоящей за рассуждениями о выгодности игры с большим стеком. Беты игроков с небольшими стеками стоят дороже, чем беты участников с крупными стеками. Всякий раз, когда игрок с большим стеком объявляет бет, противнику с маленьким стеком придется дороже заплатить за колл. Неудивительно, что участники с большими стеками могут агрессивно играть против оппонентов с небольшими стеками.
Подробнее об ICM
Для тех, кто хочет знать об ICM больше, мы раскроем тему подробнее. Продолжим рассматривать приведенный выше пример с тремя игроками.
Введем следующие обозначения для разных вариантов исхода турнира:
А1 = «Андрей занимает первое место»
А2 = «Андрей занимает второе место»
B1 = «Боря занимает первое место»
C2 = «Витя занимает второе место», и так далее.
Для указания стеков игроков введем следующие обозначения:
А - фишки Андрея
B – фишки Бори
C – фишки Вити
В начале статьи мы говорили о базовом допущении, что для данного игрока вероятность стать победителем турнира равна его доле фишек от общего количества; эту вероятность мы обозначим как а, b и c.
P(A1) ≡ a = A / (A+B+C)
P(B1) ≡ b = B / (A+B+C)
P(C1) ≡ c = C / (A+B+C)
Подсчитывая вероятность того, что данный игрок займет второе место, скажем, что для каждого участника есть два варианта – когда победителем окажется один из двоих его оппонентов.
Вероятность в каждом из случаев описывается следующими выражениями:
P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1)
P(B2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1)
P(C2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1)
Где P(A2|B1) означает вероятность того, что Андрей займет второе место, а Боря при этом выиграет турнир. Эта условная вероятность равна общей итоговой доле фишек Андрея за вычетом фишек Бори, то есть общее количество фишек у Андрея и Вити.
P(A2|B1)
При этом первое из трех выражений будет выглядеть так:
P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1) = A/(A+C)*B/(A+B+C) + A/(A+B)*C/(A+B+C) = A/(A+B+C)*[B/(A+C) + C/(A+B)] =
a*[ b/(1-b) + c/(1-c) ]
Аналогично высчитываются остальные вероятности:
P(B2) = b*[ a/(1-a) + c/(1-c) ]
P(C2) = c*[ a/(1-a) + b/(1-b) ]
Вероятность занять второе место
Как мы видели, вероятность того, что данный игрок займет второе место, равна его доле фишек среди оставшихся участников – за вычетом текущего количества фишек будущего победителя.
Многие считают такой подход спорным и предлагают другие варианты – такие, как случайное моделирование развития событий на основании текущих стеков игроков. Однако если посмотреть на выбранный нами подход с другой стороны, то он выглядит вполне логичным.
Если турнир выиграет Боря, то сначала один из двоих оставшихся участников должен покинуть турнир, а потом и второй. У Андрея 500 фишек, у Вити 100. Разумно будет предположить, что Витя вылетит из турнира первым примерно в 5 из 6 случаев, если ситуация повторится многократно.
Или другими словами, Витя займет третье место в 83% случаев. А это, разумеется, равнозначно тому, что Андрей займет второе место.
Это допущение может быть верным или нет, но именно оно используется в онлайн-калькуляторах ICM.
Если игроков больше трех
До настоящего момента мы рассматривали случай с тремя игроками. Если игроков больше трех, то принципы подсчета остаются теми же, но сами расчеты значительно усложняются.
В качестве примера рассмотрим ситуацию, где в турнире с тремя призовыми местами участвуют четверо игроков.
Обозначим фишки игроков как A, B, C и D.
Вероятности того, что тот или иной игрок займет определенное место, обозначим как : A1, A2, A3, A4, B1, B2 и так далее.
Для подсчета вероятностей того, что данный игрок займет первое, второе или третье место, мы продолжим разделять события на возможные ситуации (каждая из которых является уникальной и исчерпывающей):
Возьмем всё то же допущение о шансах каждого из игроков занять первое место:
P(A1) = A/(A+B+C+D)
Три вероятных ситуации, что данный игрок займет второе место:
P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1) + P(A2|D1)*P(D1)
И более сложное выражение для подсчета вероятности для третьего места:
P(A3) = P(A3|B2)*P(B2) + P(A3|C2)*P(C2) + P(A3|D2)*P(D2) = P(A3|B2)*[P(B2|C1)*P(C1) + P(B2|D1)*P(D1) ] +
P(A3|C2)*[ P(C2|B1)*P(B1) + P(C2|D1)*P(D1) ] +
P(A3|D2)*[ P(D2|B1)*P(B1) + P(D2|C1)*P(C1) ] =
[ P(A3|B2,C1) + P(A3|B2,D1) ] *
[ P(B2|C1)*P(C1) + P(B2|D1)*P(D1) ] +
[ P(A3|C2,B1) + P(A3|C2,D1) ] *
[ P(C2|B1)*P(B1) + P(C2|D1)*P(D1) ] +
[ P(A3|D2,B1) + P(A3|D2,C1) ]*
[ P(D2|B1)*P(B1) + P(D2|C1)*P(C1) ]
Как обычно, для подсчета вероятности того, что данный игрок займет второе место, мы используем долю игрока от оставшихся фишек после вычитания фишек победителя.
Например, P(B2|C1) = B/(A+B+D)
Если игрок А занимает третье место, тогда как игрок В занимает второе, то победителем становится либо игрок С, либо игрок D. То есть мы снова получаем две уникальных и исчерпывающих ситуации, когда мы используем в подсчетах долю игрока от оставшихся фишек после вычитания фишек победителя, А ТАКЖЕ участника, занявшего второе место.
P(A3|B2) = P(A3|B2,C1) + P(A3|B2,D1) = A/A+D + A/A+C
Как видите, подсчет вероятности Р(А3) выглядит страшновато, и Вы можете представить, как будут выглядеть расчеты вероятности Р(120) для реальной ситуации турнира с несколькими столами. Здесь мы не будем их приводить =)
Когда на покерных турнирах Ваш стек уменьшается, ценность каждой оставшейся фишки возрастает. Стек из 100 фишек стоит больше, чем десятая часть от стека в 1000 фишек. Так происходит из-за структуры распределения приза между победителями турнира.
Базовое допущение
Чтобы подсчитать реальную стоимость фишек каждого игрока, мы делаем одно важное базовое допущение.
Допущение: шансы данного игрока на победу в турнире равны его доле от общего количества фишек.
Если у Вас половина всех фишек, то Ваши шансы на победу составляют 50%. Если у Вас 10% от всех фишек, то шансы на победу составляют всего 10%. Если же у Вас все фишки (100%), то Вы по определению являетесь победителем.
Данное допущение основано на другом допущении – о том, что Вы играете на том же уровне, что и средний участник турнира. Это предположение можно оспорить, однако в данный момент мы можем произвести подсчеты только на основании этого утверждения.
Результат распределения приза
Из-за структуры распределения приза на покерных турнирах первое место не является единственной целью участников. Игрок, занявший второе место, также получает денежный приз, то есть у Вас есть определенный шанс занять второе место, что увеличивает Вашу предположительную долю банка. Это относится ко всем местам, за которые дается приз.
Чтобы рассчитать Вашу предположительную долю приза на турнире на основании количества Ваших фишек на данный момент, нам необходимо подсчитать вероятность того, что Вы займете каждое из призовых мест, умножить эту цифру на соответствующую сумму приза, а затем сложить все эти части Вашей предположительной доли банка.
В этом и состоит ICM. Все не так сложно. Однако если в турнире много участников и много призовых мест, подсчеты быстро становятся просто ужасными. При этом расчеты основываются на нескольких более или менее спорных допущениях.
Пример подсчета ICM для троих игроков
Чтобы показать, как делаются расчеты, рассмотрим простой пример. В турнире с двумя призовыми местами остались трое участников.
| Игрок | Количество фишек |
| Андрей | 500 |
| Боря | 400 |
| Витя | 100 |
| Место | Приз ($) |
| 1 | 400 |
| 2 | 100 |
| 3 |
Магия ICM
И здесь начинается самое интересное, слушайте внимательно!
Если Андрей не выиграет турнир, то есть два варианта: первое место займет либо Боря, либо Витя. Как мы говорили выше, вероятность каждого из этих вариантов равна доле игрока от общего количества фишек. Все, что нам нужно сделать, это подсчитать шансы Андрея на второе место в каждом из этих двух вариантов.
Если на турнире победит Боря (вероятность этого составляет 40%), то Андрею, чтобы занять второе место, нужно опередить только Витю. На двоих у них 600 фишек, и 83% фишек от этого количества принадлежит Андрею. В соответствии с базовым допущением, о котором мы говорили в начале статьи, его шансы на выигрыш у Вити составляют 83% (если Боря станет победителем турнира).
Необходимо заметить, что с этими рассуждениями соглашаются не все. Было предложено несколько моделей оценки вероятности того, что тот или иной игрок займет второе место. Однако в онлайн-калькуляторах используются именно эти подсчеты, и далее мы объясним их подробно.
Аналогично мы подсчитываем, что если на турнире побеждает Витя (вероятность этого составляет 10%), то вероятность того, что Андрей выиграет у Бори, составит 500/900, или 56%.
Итак, общая вероятность того, что Андрей займет второе место, составляет:
P = 0.40 * 0.83 + 0.10 * 0.56 = 0.39
В итоге, предполагаемая доля приза Андрея на данный момент составляет 239 долларов. Эта сумма высчитывается так:
E = 0.50 * 400 + 0.39 * 100 = 239
Предполагаемая доля приза игроков с небольшими стеками больше, чем они заслуживают
Теперь обратим внимание на интересный эффект структуры распределения приза: несмотря на то, что у Андрея половина всех фишек, его предполагаемая доля приза составляет меньше половины от общего призового фонда. Вероятность того, что он займет второе место, составляет не 50%, и из-за этого его предполагаемая доля приза несколько уменьшается.
Если мы произведем те же подсчеты для Вити, то окажется, что его предполагаемая доля турнирного приза составляет 57 долларов.
Вероятность того, что Витя займет второе место, составляет:
P = 0.50 * 0.20 + 0.40 * 0.17 = 0.17
Его общая предполагаемая доля приза равна:
E = 0.10 * 400 + 0.17 * 100 = 57
И это больше 10% от призового фонда. 10% фишек Вити стоят больше, чем 10% от общей суммы приза. Часть предполагаемой доли приза, которую теряет Андрей, должна куда уходить – и она переходит к Боре и Вите.
Если мы поделим предполагаемые доли приза для игроков на количество их фишек, то получим ценность одной фишки у каждого из них.
| Игрок | Количество фишек | Предполагаемая доля приза ($) | Предполагаемая доля приза на одну фишку ($) |
| Андрей | 500 | 239 | 0.48 |
| Боря | 400 | 204 | 0.51 |
| Витя | 100 | 57 | 0.57 |
Как мы говорили во вступительной части данной статьи – чем меньше Ваш стек, тем дороже каждая из Ваших фишек.
Основываясь на этом факте, умные люди сделали немало выводов о верной стратегии игры на турнире. Например, чтобы принять оптимальное решение, Вы можете оценить ситуацию на турнире и использовать матожидание в сочетании с ICM, а не только обычные подсчеты математического ожидания для пота. Об этом мы подробно расскажем в одной из следующих статей.
А сейчас просто обратим внимание, что ICM объясняет значительную часть логики, стоящей за рассуждениями о выгодности игры с большим стеком. Беты игроков с небольшими стеками стоят дороже, чем беты участников с крупными стеками. Всякий раз, когда игрок с большим стеком объявляет бет, противнику с маленьким стеком придется дороже заплатить за колл. Неудивительно, что участники с большими стеками могут агрессивно играть против оппонентов с небольшими стеками.
Подробнее об ICM
Для тех, кто хочет знать об ICM больше, мы раскроем тему подробнее. Продолжим рассматривать приведенный выше пример с тремя игроками.
Введем следующие обозначения для разных вариантов исхода турнира:
А1 = «Андрей занимает первое место»
А2 = «Андрей занимает второе место»
B1 = «Боря занимает первое место»
C2 = «Витя занимает второе место», и так далее.
Для указания стеков игроков введем следующие обозначения:
А - фишки Андрея
B – фишки Бори
C – фишки Вити
В начале статьи мы говорили о базовом допущении, что для данного игрока вероятность стать победителем турнира равна его доле фишек от общего количества; эту вероятность мы обозначим как а, b и c.
P(A1) ≡ a = A / (A+B+C)
P(B1) ≡ b = B / (A+B+C)
P(C1) ≡ c = C / (A+B+C)
Подсчитывая вероятность того, что данный игрок займет второе место, скажем, что для каждого участника есть два варианта – когда победителем окажется один из двоих его оппонентов.
Вероятность в каждом из случаев описывается следующими выражениями:
P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1)
P(B2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1)
P(C2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1)
Где P(A2|B1) означает вероятность того, что Андрей займет второе место, а Боря при этом выиграет турнир. Эта условная вероятность равна общей итоговой доле фишек Андрея за вычетом фишек Бори, то есть общее количество фишек у Андрея и Вити.
P(A2|B1)
При этом первое из трех выражений будет выглядеть так:
P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1) = A/(A+C)*B/(A+B+C) + A/(A+B)*C/(A+B+C) = A/(A+B+C)*[B/(A+C) + C/(A+B)] =
a*[ b/(1-b) + c/(1-c) ]
Аналогично высчитываются остальные вероятности:
P(B2) = b*[ a/(1-a) + c/(1-c) ]
P(C2) = c*[ a/(1-a) + b/(1-b) ]
Вероятность занять второе место
Как мы видели, вероятность того, что данный игрок займет второе место, равна его доле фишек среди оставшихся участников – за вычетом текущего количества фишек будущего победителя.
Многие считают такой подход спорным и предлагают другие варианты – такие, как случайное моделирование развития событий на основании текущих стеков игроков. Однако если посмотреть на выбранный нами подход с другой стороны, то он выглядит вполне логичным.
Если турнир выиграет Боря, то сначала один из двоих оставшихся участников должен покинуть турнир, а потом и второй. У Андрея 500 фишек, у Вити 100. Разумно будет предположить, что Витя вылетит из турнира первым примерно в 5 из 6 случаев, если ситуация повторится многократно.
Или другими словами, Витя займет третье место в 83% случаев. А это, разумеется, равнозначно тому, что Андрей займет второе место.
Это допущение может быть верным или нет, но именно оно используется в онлайн-калькуляторах ICM.
Если игроков больше трех
До настоящего момента мы рассматривали случай с тремя игроками. Если игроков больше трех, то принципы подсчета остаются теми же, но сами расчеты значительно усложняются.
В качестве примера рассмотрим ситуацию, где в турнире с тремя призовыми местами участвуют четверо игроков.
Обозначим фишки игроков как A, B, C и D.
Вероятности того, что тот или иной игрок займет определенное место, обозначим как : A1, A2, A3, A4, B1, B2 и так далее.
Для подсчета вероятностей того, что данный игрок займет первое, второе или третье место, мы продолжим разделять события на возможные ситуации (каждая из которых является уникальной и исчерпывающей):
Возьмем всё то же допущение о шансах каждого из игроков занять первое место:
P(A1) = A/(A+B+C+D)
Три вероятных ситуации, что данный игрок займет второе место:
P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1) + P(A2|D1)*P(D1)
И более сложное выражение для подсчета вероятности для третьего места:
P(A3) = P(A3|B2)*P(B2) + P(A3|C2)*P(C2) + P(A3|D2)*P(D2) = P(A3|B2)*[P(B2|C1)*P(C1) + P(B2|D1)*P(D1) ] +
P(A3|C2)*[ P(C2|B1)*P(B1) + P(C2|D1)*P(D1) ] +
P(A3|D2)*[ P(D2|B1)*P(B1) + P(D2|C1)*P(C1) ] =
[ P(A3|B2,C1) + P(A3|B2,D1) ] *
[ P(B2|C1)*P(C1) + P(B2|D1)*P(D1) ] +
[ P(A3|C2,B1) + P(A3|C2,D1) ] *
[ P(C2|B1)*P(B1) + P(C2|D1)*P(D1) ] +
[ P(A3|D2,B1) + P(A3|D2,C1) ]*
[ P(D2|B1)*P(B1) + P(D2|C1)*P(C1) ]
Как обычно, для подсчета вероятности того, что данный игрок займет второе место, мы используем долю игрока от оставшихся фишек после вычитания фишек победителя.
Например, P(B2|C1) = B/(A+B+D)
Если игрок А занимает третье место, тогда как игрок В занимает второе, то победителем становится либо игрок С, либо игрок D. То есть мы снова получаем две уникальных и исчерпывающих ситуации, когда мы используем в подсчетах долю игрока от оставшихся фишек после вычитания фишек победителя, А ТАКЖЕ участника, занявшего второе место.
P(A3|B2) = P(A3|B2,C1) + P(A3|B2,D1) = A/A+D + A/A+C
Как видите, подсчет вероятности Р(А3) выглядит страшновато, и Вы можете представить, как будут выглядеть расчеты вероятности Р(120) для реальной ситуации турнира с несколькими столами. Здесь мы не будем их приводить =)